*** Aire de l'octogone régulier

Soit \(\text{ABCDEFGH}\) un octogone régulier de côté de mesure \(a\).
L'objectif de cet exercice est d'en calculer l'aire en fonction de \(a\).

Dans la figure suivante, \(\text{ABCDEFGH}\) est inscrit dans le carré \(\text{IJKL}\) de sorte que les côtés \(\text{[AB]}\), \(\text{[CD]}\), \(\text{[EF]}\), \(\text{[GH]}\) de l'octogone appartiennent, respectivement, aux côtés \(\text{[KL]}\), \(\text{[JK]}\), \(\text{[IJ]}\), \(\text{[LI]}\) du carré.

1. Expliquer pourquoi un octogone est inscriptible dans un carré.
2. Déterminer la nature du triangle \(\text{BKC}\) et calculer la longueur \(\text{BK}\).
3. Justifier que l'aire du carré \(\text{IJKL}\) est égale à \((3+2\sqrt{2})a^2\).
4. Calculer l'aire de l'octogone régulier.